🟠 ¿Por qué dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa?

 La siguiente entrada es producto de una serie de interacciones con ChatGPT para poder explicar y comprender ¿Por qué dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa? les dejo la versión final obtenida. Considero que la explicación es matemáticamente correcta, pero me causa un poco de dudas la insistiencia en el uso de material concreto para "validar" el procedimiento. ¿Uds. qué opinan? Leo sus opiniones en la sección comentarios!

🟠 Cómo enseñar a dividir fracciones en el nivel primario: comprensión con sentido

¿Por qué dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa?
Muchas veces enseñamos esta regla como algo que hay que memorizar, pero si queremos que nuestros alumnos y alumnas comprendan profundamente las matemáticas, necesitamos ir más allá de las fórmulas.

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💡 La explicación conceptual: una mirada con ecuaciones

Cuando decimos que:

$$\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3}$$

estamos usando una propiedad que surge de lo siguiente:

✏️ Supongamos que buscamos un número $x$ tal que:

$$\frac{3}{4} \times x = \frac{2}{3}$$

Esta es la forma en que interpretamos una división:
¿Qué número multiplicado por $\frac{3}{4}$ me da $\frac{2}{3}$?

Para despejar $x$, multiplicamos ambos lados por el inverso de $\frac{3}{4}$, que es $\frac{4}{3}$:

$$x = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$

Por eso, dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa: porque estamos “cancelando” esa fracción al buscar el número desconocido. Esta es la base lógica de la regla que enseñamos.

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🧠 ¿Y cómo lo explicamos a niños y niñas que no saben álgebra?

La clave está en traducir la idea matemática al lenguaje de la experiencia concreta. Si la división es “cuántas veces entra”, lo que necesitamos es ofrecer situaciones donde los estudiantes puedan ver cuántas veces entra una fracción en una cantidad dada.

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🧺 Ejemplo 1: “Las medias naranjas”

Tenemos 2 naranjas enteras.
¿Cuántas medias naranjas podemos sacar?

🟠 Una naranja da 2 mitades.
🟠🟠 Entonces, 2 naranjas dan 4 mitades.

$$2 \div \frac{1}{2} = 4$$

Ahora, preguntamos:
¿Qué pasa si multiplicamos 2 por 2?

$$2 \times 2 = 4$$

¡Da el mismo resultado! Y podemos escribir:

$$2 \div \frac{1}{2} = 2 \times \frac{2}{1}$$

Así, la regla deja de ser un truco y empieza a tener sentido.

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🧃 Ejemplo 2: “Los vasitos de jugo”

Tenemos 3 litros de jugo. Queremos servirlo en vasitos de $\frac{3}{4}$ litro.
¿Cuántos vasitos llenamos?

Nos preguntamos:
¿Cuántas veces cabe $\frac{3}{4}$ en 3?

$$3 \div \frac{3}{4} = ?$$

Usamos la regla:

$$3 \div \frac{3}{4} = 3 \times \frac{4}{3} = 4$$

Y así descubrimos que dividir por una fracción equivale a multiplicar por el número dado vuelta (su inversa), porque estamos contando cuántas veces entra esa fracción.

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✋ Actividad didáctica: “Las porciones de torta”

🎯 Objetivo:

Comprender que dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inversa, a través de una situación concreta y manipulable.

📎 Materiales:

• Tarjetas o dibujos de tortas divididas en mitades, tercios, cuartos...

• Vasitos o círculos de papel para simular porciones

• Tarjetas con operaciones como 1 ÷ 1/2, 2 ÷ 1/4, 3 ÷ 3/4

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👣 Desarrollo paso a paso

1. Presentar la historia

"Tenemos varias tortas enteras. Queremos saber cuántas porciones podemos sacar si las cortamos en mitades, tercios o cuartos."

2. Explorar con materiales

• Pegan las porciones sobre una torta dibujada.

• Resuelven con dibujos:
  Por ejemplo:
  $1 \div \frac{1}{2} = 2$, porque en una torta caben 2 mitades.
  $2 \div \frac{1}{4} = 8$, porque caben 4 porciones en cada torta.

• Luego observan que eso coincide con:

  $$1 \div \frac{1}{2} = 1 \times 2 \quad \text{y} \quad 2 \div \frac{1}{4} = 2 \times 4$$

3. Descubrir la regla

A través del juego y la repetición, las niñas y niños llegan a esta idea:

“Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el número dado vuelta.”

4. Escribir y representar

• Dibujan su ejemplo favorito con tortas o jugo.

• Escriben con sus palabras lo que aprendieron.

• Inventan una frase recordatoria:

🎵 “Para dividir por fracción, doy vuelta y ¡multiplicación!”

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🧶 Reflexión final: enseñar con comprensión

El objetivo no es que repitan la operación mecánicamente, sino que entiendan qué están haciendo y por qué.

Dividir por una fracción no tiene que ser un misterio. Solo hay que construir el camino desde la experiencia concreta hasta la representación simbólica.